aiya advent calendar 4日目の記事です. 前回はaiya000さんの貴方はMarkdownでTexすることができるでした.

無茶ぶり感が半端無かったですね.

さて, 本論.

なんだろう. 前aiyaさんに振った問題の解説でもすればいいのかな?

\(G\)を群とし, \(G^\prime\)を\(G\)の部分群とする.

\(G\)の単位元と\(G^\prime\)の単位元が一致することを示せ.

いや, 簡単ですよ?

10分ほど考えてみてください.

はい, 解答例です.

\(G\)の単位元を\(1_G\)とします.

このとき, \(1_G \in G^\prime\)が示されれば, 全ての\(g \in G^\prime \subset G\)に対して

\[g \cdot 1_G = 1_G \cdot g = g\]

であるので, \(1_G\)が\(G^\prime\)の単位元であることが分かります. そこで, \(1_G \in G^\prime\)を示しましょう.

\(G^\prime\)が\(G\)の部分群であるとは, \(G^\prime\)が\(G\)と同じ演算に関して群になっていることでした. さらに, 群は空集合ではないので, \(G^\prime\)は空ではありません.

そこで, \(G^\prime \subset G\)の任意の元\(g\)を取ってきます. すると,

\[gg^{-1} = 1_G \in G^\prime\]

となるので, \(1_G \in G^\prime\)が分かりました.

以上によって, \(G^\prime\)の単位元は\(1_G\)であることが分かりました.


明日はaiya000さんの「非可換体のガロア理論」です。

よろしくおねがいします.