Regular Functions of a Quaternionic Variableのメモ.

\(\alpha \in \mathbb{H} \setminus \mathbb{R}\) に対して 関数\(f, g: \mathbb{H} \to \mathbb{H}\)を

\[f(q) = q^2 \alpha, \quad g(q) = \alpha q^2\]

で定義する.

\(f\)はTaylor展開の形であるから正則関数である. \(g\)は正則関数でないことを示そう.

\(g\)が正則関数であると仮定する.

\[L_{\alpha} = \mathbb{R} \oplus \alpha \mathbb{R}\]

とおく.

\(L_\alpha\) 上では \(q\)と\(\alpha\)は可換なので, \(f \equiv g\) である.

よって, 一致の原理より\(\mathbb{H}\)上 \(f \equiv g\) である. したがって,

\[q^2 \alpha = \alpha q^2 \quad (\forall q \in \mathbb{H})\]

であるが, このようなことは起こり得ない.



外部リンク