何度か見たような記憶がある問題とその一般化を考えてみようと思います.

問: $e^\pi$と$\pi^e$のどちらの方が大きいかを判定せよ.

解: 最初の一手がなかなか気がつきません.

\[e^\pi = e^{\frac{1}{e} \cdot \pi e}, \quad \pi^e = \pi^{\frac{1}{\pi} \cdot \pi e}\]

が成り立ちます. ここで$\pi e > 0$なので$e^\pi$と$\pi^e$の大小関係は $e^{\frac{1}{e}}$と$\pi^{\frac{1}{\pi}}$の大小関係は同じです.

そこで 関数

\[f(x) = x^{1/x} \quad (x > 0)\]

を考えます.

高校数学(数学III)なので詳細は省略しますが, $f$は$x=e$でのみ極大値を取ります.

よって \(e^{\frac{1}{e}} > \pi^{\frac{1}{\pi}}\) すなわち \(e^\pi > \pi^e\) が成り立ちます.

x^(1/x)のグラフ

この回答を見てみると $ 0 < x, y < e$, $e \le x, y < \infty$ に対して$x^y$ と $y^x$の大小を比較できそうです.

実際, 上と同様にこんなことを証明できます:

  • $x, y \in (0, e]$かつ$x \le y$ のとき $x^y \le y^x$が成り立つ さらに $x \neq y$ のとき $x^y < y^x$が成り立つ.
  • $x, y \in [e, \infty)$かつ$x \le y$のとき $x^y \ge y^x$が成り立つ. さらに $x \neq y$ のとき $x^y > y^x$が成り立つ.

また, この$x^{\frac{1}{x}}$のグラフから予想できるように $x, y > 0, x \neq y$ であっても $x^y \neq y^x$ とは限りません.

最後に $x^y = y^x$のグラフを描いてみましょう.

x^(1/x)のグラフ