たまに 自分でも気づかなかったりするのでメモ.

主張. 自然数 \(n\) に対して \(n + 1\)個のベクトル空間\(W_i\) (\(i = 1, 2, \ldots n + 1\)) 及びその間の\(n\)個の全射な線形写像 \(f_i: W_i \to W_{i+1}\)(\(i = 1, 2, \ldots n\)) を考える. この時

\[\dim(W_{n + 1}) = \dim(W_1) - \sum_{j=1}^n \dim(\mathrm{Ker}(f_j)).\]

証明. 各\(f_i\)は全射なので \(f(W_i) = W_{i+1}\) が成り立つ.

各\(f_i\)に関する次元定理より

\[\begin{align} \dim(W_i) &= \dim(\mathrm{Ker}(f_i)) + \dim(W_{i + 1}) \\ \dim(W_{i + 1}) &= \dim(W_i) - \dim(\mathrm{Ker}(f_i)). \end{align}\]

よって

\[\begin{align} \dim(W_{n + 1}) &= \dim(W_n) - \dim(\mathrm{Ker}(f_n)) \\ &= \dim(W_{n - 1}) - \dim(\mathrm{Ker}(f_n)) - \dim(\mathrm{Ker}(f_{n - 1})) \\ & = \cdots \\ &= \dim(W_1) - \sum_{j = 1}^n \dim(\mathrm{Ker}(f_j)). \end{align}\]