主張: $V, W$を有限次元ベクトル空間であり

\[\begin{align} V \subset W, \\ \dim V = \dim W \end{align}\]

とする.

このとき

\[V = W.\]

証明: 簡単のため$n = \dim V = \dim W$と置く. また $v_1, v_2, \ldots, v_n$を$V$の基底, $w_1, w_2, \ldots, w_n$を$W$の基底とする.

$V \subset W$ より 各$j(1 \le j \le n)$に対して $n$個の実数$a_{j 1}, a_{j 2}, \ldots a_{j n}$があって

\[v_j = \sum_{k=1}^n a_{j k}w_k\]

が成り立つ.

すなわち

\[\begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n \end{pmatrix} = A \begin{pmatrix} w_1 \\ w_2 \\ \vdots \\ w_n. \end{pmatrix}\]

ここで

\[A = \begin{pmatrix} a_{1 1} & \ldots & a_{1 n} \\ \vdots & \ddots & \\ a_{n 1} & & a_{n n} \end{pmatrix}\]

である.

$v_1, v_2, \ldots, v_n$は基底であったので $A$の行列式は$0$でない.

よって

\[\begin{pmatrix} w_1 \\ w_2 \\ \vdots \\ w_n. \end{pmatrix} = A^{-1} \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n \end{pmatrix}.\]