Pool-Ball Trianglesのルールを少し変更して, プログラムを使って いくつかの場合に 答えを書き下してみました.

自分がルールを変更したPool-Ball TrianglesをGPT(Generic-like Pool-Ball Triangles) と書くことにします.

数学的に証明は全くできていないので, 問題, データ, 予想の公開をします.

Pool-Ball Trianglesについてはクリスカさんの記事 で知りました.

2, 3日前に知ったので 情報をあまり持っていません. なにか情報を持っていらっしゃれば 送っていただけると幸いです.

Pool-Ball Trianglesのルール

もともとのPool-Ball Trianglesのルールを書きます.

上のクリスタさんの記事を参照.

  • 1から$1 + 2 + \cdots n = n(n+1)/2$までの数字が振られたボールで$n$段の三角形を並び替えます
  • 隣り合う二つのボールの下の数字は 上のボール2つの数字の差の絶対値です.

例えば $n=2$の場合は

\[\bigl( \begin{matrix} 3 & & 2 \\ & 1 & \end{matrix} \bigr), \quad \bigl( \begin{matrix} 3 & & 1 \\ & 2 & \end{matrix} \bigr)\]

の二つがあります.

また, 例えば $n=3$の場合には

\[\Bigl( \begin{matrix} 6 & & 2 & & 5 \\ & 4 & & 3 \\ & & 1 & \end{matrix} \Bigr)\]

があります.

自分でいじってみたPool-Ball Trianglesのルールといくつかの例

  • 自然数$r$を$M := n(n+1)/2$の正の約数とします.
  • 0から$r-1$までの数字をそれぞれ$M/r$個使って $n$段の三角形を埋め尽くすことを考えます.
  • $a$と$b$を隣り合う二つのボールの数字とします. $a$が左側, $b$を右側だとすると, その二つのボールの下の数字$c$に対して
\[c = (a - b) \bmod r.\]

以下 簡単のため, このルールを満たすパズルをGPT(Generic-like Pool-Ball Triangles)と書くことにします.

$(n, r) = (2, 3)$のとき

\[\bigl( \begin{matrix} 0 & & 2 \\ & 1 & \end{matrix} \bigr), \quad \bigl( \begin{matrix} 0 & & 1 \\ & 2 & \end{matrix} \bigr).\]

$(n, r) = (3, 6)$のとき

\[\bigl( \begin{matrix} 0 & & 1 & & 4 \\ & 5 && 3 & \\ &&2&& \end{matrix} \bigr), \quad \bigl( \begin{matrix} 0 & & 4 & & 1 \\ & 2 && 3 & \\ &&5&& \end{matrix} \bigr), \\ \bigl( \begin{matrix} 0 & & 2 & & 5 \\ & 4 && 3 & \\ &&1&& \end{matrix} \bigr), \quad \bigl( \begin{matrix} 0 & & 5 & & 2 \\ & 1 && 3 & \\ &&4&& \end{matrix} \bigr). \\\]

$(n, r) = (3, 3)$のとき,

\[\bigl( \begin{matrix} 0 & & 2 & & 2 \\ & 1 && 0 & \\ &&1&& \end{matrix} \bigr), \quad \bigl( \begin{matrix} 0 & & 1 & & 1 \\ & 2 && 0 & \\ &&2&& \end{matrix} \bigr). \\\]

GPTの例を計算してみたプログラムと結果

いくつかの$(n, r)$で全てのGPTを計算してみたので 公開します. 結果は 長くなるので リンクのみ貼っておきます.

$(n, r) = (6, 21), n = 7$ のときはMemoryErrorになったので, $n \le 6$かつ$(n, r) \neq (6, 21)$の場合に計算しました.

例えば $(3, 6)$の最初のList(List(0, 1, 4), List(5, 3), List(2))という要素は

\[\bigl( \begin{matrix} 0 & & 1 & & 4 \\ & 5 && 3 & \\ &&2&& \end{matrix} \bigr)\]

という回答を表しています.

GPTに関する予想

  • {$d_{x, y}$} をGPTで$(n, r) = (n_0, n_0(n_0 + 1) / 2)$であるものとすると, $d_{1, 1} = 0$(最も左上の要素は0)である.
  • {$d_{x, y}$} をGPTで$(n, r) = (n_0, n_0(n_0 + 1) / 2)$であるもの, {$d^\prime_{x, y}$}を別の$(n, r)=(n_0, n_0(n_0 + 1)/2)$であるものとする. さらに$j$を1以上$n$以下の自然数とする. このとき, {$d_{x, y}$}と{$d^\prime_{x, y}$}の第$j$対角成分の和は等しい.
  • $n_0$を5以上の自然数とする. このとき $n=n_0, r=n_0(n_0 + 1) / 2$である GPTは存在しない.
  • $a_{n_0, r_0}$を$(n, r) = (n_0, r_0)$である全てのGPTの数とする. このとき自然数$n_0, n_0^{\prime}, r_0, r_0^{\prime}$に対して
\[\frac{n_0(n_0 + 1)}{2} \mid \frac{n_0^\prime(n_0^\prime + 1)}{2} \text{かつ} r_0 \mid r_0^\prime \text{のとき} a_{n_0, r_0} \mid a_{n_0^\prime, r_0^\prime}.\]