昨日 見つけた主張を書いてみます. この関数の定義域が本当に平面全体じゃないのかっていう部分は検討していないので, 分かったら教えてくださると幸いです.

主張: 平面$\mathbb{R}^2$上で定義された以下の微分方程式を満たす$C^1$級の二変数関数$h_1$, $h_2$を考えます:

\[\frac{\partial h_1}{\partial y} = \frac{\partial h_2}{\partial x}.\]

この時, $f$に関する微分方程式

\[\frac{\partial f}{\partial x} = h_1, \quad \frac{\partial f}{\partial y} = h_2\]

を考える.

以下の関数はこの微分方程式の解である:

\[f(x, y) = \int_0^x h_1(x, y)dx + \int_0^y h_2(0, y)dy.\]

直接計算してみると この関数は微分方程式を満たすことが分かるので, 証明は省略します.