一般的に 超越数か否かを判定するのはとても難しいです.

例えば 円周率が超越数か否かが判定されたのは 1882年のリンデマンの定理です.

ある値が超越数がどうかを調べるためにも それぞれテクニカルな手法が使われることが多いです.

そんな状況ですが, 一般的な超越数かどうかを判定するための定理として ゲルフォント=シュナイダーの定理(Gel’fond-Schneider’s theorem)を紹介したいと思います:

定理: $\alpha$を$0, 1$以外の代数的数, $\beta$を代数的数としたとき: $\alpha^\beta$は超越数である.

この定理の証明はヒルベルトの23の問題と呼ばれる問題の回答の一つで, とても僕みたいなものが解説できるものではありません. しかし, 具体例をいくつか見ることはできますので, 見ることにしましょう:

: $2^{\sqrt{2}}$が超越数であることを示しましょう. $2^{\sqrt{2}}$が代数的数であると仮定します. すると ゲルフォント=シュナイダーの定理によって $$ (2^{\sqrt{2}})^{\sqrt{2}} = 2 $$ も超越数だということになりますが, これは矛盾です. よって $2^{\sqrt{2}}$が超越数であることが示されました.
: $e^{\pi}$が超越数であることを見ましょう. 実際, この数が代数的数だと仮定すると $$ (e^{\pi})^i = -1 $$ も超越数だということになりますが, これは矛盾です.


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