方程式

\[x^2 + 1 = 0\]

を四元数の範囲で考えてみよう.

実数$h_0, h_1, h_2, h_3$を用いて$x = h_0 + h_1i + h_2j + h_3k$と表すと

\[\begin{align} x^2 &= (h_0 + h_1i + h_2j + h_3k)^2 \\ &= h_0^2 - h_1^2 - h_2^2 - h_3^2 \\ &\quad + 2h_0h_1i \\ &\quad + 2h_0h_2j \\ &\quad + 2h_0h_3k. \end{align}\]

よって 元々の方程式の解は

\[\begin{align} \{ h_0 + h_1i + h_2j + h_3k; \: h_0^2 - h_1^2 - h_2^2 - h_3^2 = -1, \, h_0h_1=0,\, h_0h_2=0,\, h_0h_3=0 \} \end{align}\]

である.

ここで 条件より$h_0 = 0$もしくは $(h_1, h_2, h_3) = (0, 0, 0)$となる.

ここで $(h_1, h_2, h_3) = (0, 0, 0)$と仮定すると$h_0^2 = -1$となる. しかし, これを満たす実数$h_0$は存在しないので矛盾. したがって $h_0 = 0$となる.

以上によって元の方程式の解集合は

\[\{ h_1i + h_2j + h_3k; \: h_1^2 + h_2^2 + h_3^2 = 1 \} \approx S^2\]

であることが分かる.