主張 $k$を0以上の整数とし, $n$を自然数とする. $$ 10^{-(k + 1)} \le \sqrt{n + 1} - \sqrt{n} < 10^{-k} $$ が成り立つための必要十分条件は $$ \frac{10^{2k}}{4} \le n \le \frac{10^{2(k + 1)}}{4} - 1 $$ が成り立つことである.

手計算 上の主張を証明するためには必要ないのだが, 実際にはどのくらいの値になるのかを以下のように計算した.

\[10^{-(k + 1)} \le \sqrt{n + 1} - \sqrt{n} < 10^{-k}\]

より

\[\begin{align} 10^{-(k + 1)} &\le \sqrt{n + 1} - \sqrt{n} < \frac{1}{2\sqrt{n}} \\ 10^{-(k + 1)} &< \frac{1}{2\sqrt{n}} \\ 10^{k + 1} &> 2\sqrt{n} \\ 2\sqrt{n} &< 10^{k + 1} \\ \sqrt{n} &< \frac{10^{k + 1}}{2} \\ n &< \frac{10^{2(k + 1)}}{4}. \end{align}\]

同様に

\[\frac{1}{2\sqrt{n + 1}} < 10^{-k}\]

より

\[n > \frac{10^{2k}}{4} - 1\]

を得る.

以上によって

\[\frac{10^{2k}}{4} - 1 < n < \frac{10^{2(k + 1)}}{4}\]

を得る.

証明

\[\sqrt{n + 1} - \sqrt{n} = \frac{1}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}}\]

なので, 数列$\set{\sqrt{n + 1} - \sqrt{n}}$は減少数列である.

$n = 10^{2(k + 1)} / 4 - 1$のとき:

\[\sqrt{n + 1} - \sqrt{n} = \frac{10^{k + 1}}{2} - \sqrt{\frac{10^{2(k + 1)}}{4} - 1}.\]

ここで 以下の条件を満たすような$R_1$を$<$もしくは$>$の符号とする:

\[\frac{10^{k + 1}}{2} - \sqrt{\frac{10^{2(k + 1)}}{4} - 1} \;\;\; R \;\;\; 10^{-(k + 1)}.\]

すると(移行して二乗すると)

\[\begin{align} \frac{10^{2(k + 1)}}{4} - 1 \;\;\; &R^{-1} \;\;\; \left(\frac{10^{k + 1}}{2} - 10^{-(k + 1)}\right)^2 \\ &= \frac{10^{2(k + 1)}}{4} - 1 + 10^{-2(k + 1)} \end{align}\]

よって $R^{-1} = <$である. すなわち$R = >$.

つまり

\[\sqrt{n + 1} - \sqrt{n} > 10^{-(k + 1)}.\]

同様にして

\[\sqrt{n + 1} - \sqrt{n} < 10^{-k}\]

が示される.

同様にして

  • $n=10^{2(k + 1)} / 4$のとき: 条件は満たされない
  • $n = 10^{2k}/ 4$のとき: 条件は満たされる
  • $n = 10^{2k} / 4$のとき: 条件は満たされない

ことが分かる.

以上によって, 主張を得る.