四元数体$\HH$は四次元の$\RR$-ベクトル空間でその基底$\set{1, i, j, k}$が

\[\begin{align} i^2 = j^2 = k^2 = -1, \\ ij = k, \quad jk = i, \quad ki = j, \\ ji = -k, \quad jk = -i, \quad ik=-j \end{align}\]

を満たすような代数構造です.

四元数体$\HH$は斜体であることが知られています.

そこで $\HH$の乗法群 $\HH^\ast := \HH \setminus \set{0}$の中心

\[Z(\HH^\ast) = \set{h \in \HH^\ast; hq = qh (\forall q \in \HH^\ast)}\]

を求めてみましょう.

$\HH^\ast$の任意の元はいずれかは0でない実数$a, b, c, d$を用いて $h = a + bi + cj + dk$と表されます.

$h \in Z(\HH^\ast)$とすると $ih = ih$です.

ここで

\[\begin{align*} ih &= i(a + bi + cj + dk) \\ &= ai - b + ck - dj \\ &= -b + ai - dj + ck \end{align*}\]

であり,

\[\begin{align*} hi &= (a + bi + cj + dk)i \\ &= ai - b - ck + dj \\ &= -b + ai + dj - ck \end{align*}\]

なので $c = d = 0$を得ます.

同様に $jh = hj$より $b = d = 0$を得ます.

したがって, $h = a$を得ます.

逆に $h = a$のとき 任意の$\HH^\ast$の元$q$に対して

\[hq = qh\]

が成り立ちます.

以上によって, $Z(\HH^\ast) = \RR \setminus \set{0}$ が成り立つことが分かりました.