ここでは 三次方程式

\[ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 \ (a \neq 0)\]

を解く方法を紹介しようと思います.

なお この動画はヨビノリさんの3次方程式の解の公式を見て書いています.

さて, まず 方程式の両辺を$a$で割って

\[x^3 + \frac{b}{a}x^2 + \frac{c}{a}x + \frac{d}{a} = 0\]

とします. 次に変数変換$x = y - b/(3a)$を考えると

\[y^3 + \left(-\frac{b^2}{3a^2} + \frac{c}{a}\right)y + \left(\frac{2b^3}{27a^3} - \frac{bc}{3a^2} + \frac{d}{a}\right) = 0\]

を得ます.

\[p = -\frac{b^2}{3a^2} + \frac{c}{a}, \quad q = \frac{2b^3}{27a^3} - \frac{bc}{3a^2} + \frac{d}{a}\]

と置き, 方程式

\[y^3 + py + q = 0\]

を解くことを考えます. 最初の方程式から二次の項が消えていることに注意します.

ここで $y = u + v$と置くと上式は

\[u^3 + v^3 + q + (3uv + p)(u + v) = 0\]

となります.

ここで 条件

\[\begin{align*} u^3 + v^3 + q = 0 & \ or \ u^3 + v^3 = -q, \\ 3uv + p = 0 & \ or \ uv = -\frac{p}{3} \end{align*}\]

を考えます. この二つの条件が満たされる$u, v$が見つかれば 上式も満たされるので このような$u, v$を探すことを考えます.

$u^3 + v^3 = -q$, $u^3 + v^3 = -p^3/27$より $u^3, v^3$は二次方程式

\[t^2 + qt - \frac{p^3}{27} = 0\]

の解です. ここで $u^3$と$v^3$は対称なので

\[\begin{align*} u^3 &= \frac{-q + \sqrt{q^2 + 4p^3/27}}{2}, \\ v^3 &= \frac{-q - \sqrt{q^2 + 4p^3/27}}{2}. \end{align*}\]

として構いません.

よって 考えられる$u, v$の候補は

\[u = \frac{-q + \sqrt{q^2 + 4p^3/27}}{2}\omega^i, v = \frac{-q - \sqrt{q^2 + 4p^3/27}}{2} \omega^j \quad (0 \le i, j \le 2)\]

となります.

ただしここで $\omega$は1の原始三乗根です:

\[\omega = \frac{-1 + \sqrt{3}i}{2}.\]

さらに$uv = -p/3$より$i + j = 3$です.

以上によって 求める解は

\[x = \sqrt[3]{\frac{-q + \sqrt{q^2 + 4p^3/27}}{2}}\omega^i + \sqrt[3]{\frac{-q - \sqrt{q^2 + 4p^3/27}}{2}} \omega^{3-i} - \frac{b}{3a} \quad (0 \le i \le 2)\]

と求められました.