フェラーリの方法

四次方程式

\[ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0 (a \neq 0)\]

を解く解法について考えます.

まず $a \neq 0$ですから 両辺を$a$で割って

\[x^4 + \frac{b}{a}x^3 + \frac{c}{a}x^2 + \frac{d}{a}x + \frac{e}{a} = 0\]

とします.

次に 変換 $x = y - \frac{b}{4a}$を考えることで 三次の項が消去され

\[y^4 + py^2 + qy + r = 0\]

のような 四次方程式に変形することができます.

ここで

\[y^4 + py^2 + qy + r = (y^2 + \alpha)^2 - \beta (y + \gamma)^2\]

と変形することを考えましょう. 右辺を展開すると$y^4 + y^2(2\alpha - \beta) + y(-2\beta\gamma) + \alpha^2 - \beta\gamma^2$となるので 条件

\[\begin{align*} p &= 2\alpha - \beta \\ q &= -2\beta\gamma \\ r &= \alpha^2 - \beta\gamma^2 \end{align*}\]

を得ます.

上式より $\beta$に関する三次方程式

\[\beta^3 + 2p\beta^2 + \beta(p - 4r) - q^2 = 0\]

を得ます.

逆にこの方程式が解ければ 二つ上の式に代入することで $\alpha, \beta, \gamma$の値を求めることができます.

この方程式が解けたとしましょう.

すると

\[y^4 + py^2 + qy + r = (y^2 + \alpha)^2 - \beta(y + \gamma)^2 = 0\]

より

\[\begin{align*} (y^2 + \alpha^2) - \beta(y + \gamma)^2 &= (y^2 + \alpha + \sqrt{\beta}(y + \gamma))(y^2 + \alpha - \sqrt{\beta}(y + \gamma)) \\ &= (y^2 + \sqrt{\beta}y + \alpha + \sqrt{\beta}\gamma)(y^2 - \sqrt{\beta}y + \alpha - \sqrt{\beta}\gamma) = 0 \end{align*}\]

となるので, 二次方程式を二回解くことで 方程式の解を求めることができます.



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