簡単な部分分数分解で 自分がどう考えているか書いてみます.

定理: $0$でなく 異なる二つの実数$a, b$に対して $$ \frac{1}{ab} = \frac1{a-b}\left(\frac1{b} - \frac1{a}\right). $$

証明は簡単なので 省略します. 左辺で$a$と$b$は対称なので 必要に応じて右辺の$a$と$b$も取り替えて使います.

以下 例を上げます. $n$を自然数とします.

例1.

\[\begin{align*} \frac1{n(n+1)} &= \frac1{n+1 - n}\left(\frac1{n} - \frac1{n + 1} \right) \\ &= \frac1{n} - \frac1{n+1}. \end{align*}\]

例2.

\[\begin{align*} \frac1{(n+2)(n+5)} &= \frac{1}{n+5 - (n+2)}\left( \frac1{n+2} - \frac1{n+5} \right) \\ &= \frac1{3}\left( \frac1{n+2} - \frac1{n+5} \right). \end{align*}\]

例3.

\[\begin{align*} \frac{3n+7}{(n+3)(n+5)} &= \frac{3(n+3) - 2}{(n+3)(n+5)} \\ &= \frac{3(n+3)}{(n+3)(n+5)} - \frac{2}{(n+3)(n+5)} \\ &= \frac{3}{n+5} - \frac{2}{n+5-(n+3)}\left( \frac1{n+3} - \frac1{n+5} \right) \\ &= \frac{3}{n+5} - \left( \frac1{n+3} - \frac1{n+5} \right) \\ &= \frac{4}{n+5} - \frac1{n+3}. \end{align*}\]