$n$を自然数とします.

また

\[H_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} = \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots\]

と置きます.

この記事では

\[\lim_{n \to \infty}\frac{H_n}{\log n} = 1\]

を示します.

上図より

\[\int_{0}^n \frac1{1+x} dx \le H_n \le 1 + \int_{1}^n \frac1{x} dx.\]

すなわち

\[\log (n+1) \le H_n \le 1 + \log n\]

を得ます.

$n \ge 2$として 両辺を$\log n$で割ることで

\[\frac{\log(n+1)}{\log n} \le \frac{H_n}{\log n} \le 1 + \frac1{\log n} \tag{$\ast$}\]

を得ます.

ここで

\[1 + \frac1{\log n} \to 1 \quad (n \to \infty)\]

は明らかです.

後は

\[\frac{\log (n+1)}{\log n} \to 1 \quad (n \to \infty)\]

を示すことができれば はさみうちの原理より

\[\lim_{n \to \infty} \frac{H_n}{\log n} = 1\]

が示すことができます.

自然数$n$に対して $n+1 \le 2n$が成り立ちます. よって

\[1 = \frac{\log n}{\log n} \le \frac{\log (n+1)}{\log n} \le \frac{\log 2n}{\log n}. \tag{$\ast\ast$}\]

ここで

\[\begin{align*} \frac{\log 2n}{\log n} &= \frac{\log 2 + \log n}{\log n} \\ &= \frac{\log 2}{\log n} + 1 \to 1 \quad (n \to \infty) \end{align*}\]

が成り立つので, $(\ast\ast)$とはさみうちの原理より

\[\lim_{n \to \infty} \frac{\log (n+1)}{\log n} = 1.\]

したがって はさみうちの原理と$(\ast)$より

\[\lim_{n \to \infty} \frac{H_n}{\log n} = 1\]

をが成り立つことが分かりました.