複素数とは二つの実数の組のことである.

実数$x_1, x_2, y_1, y_2$に対して 複素数の和と積を

\[\begin{align*} (x_1, x_2) + (y_1, y_2) &= (x_1 + y_1, x_2 + y_2), \\ (x_1, x_2) \cdot (y_1, y_2) &= (x_1y_1 - x_2y_2, x_1y_2 + x_2y_1) \\ \end{align*}\]

で定義する.

また, 実数$x, y$に対して

\[\begin{align*} (x, 0) + (y, 0) &= (x + y, 0), \\ (x, 0) \cdot (y, 0) &= (x \cdot y - 0 \cdot 0, x \cdot 0 + 0 \cdot y) = (xy, 0) \end{align*}\]

であるから 複素数$(x, 0)$は実数$x$と同一視できる.

最後に 複素数$(x, y)$を$x + iy$と書く.