ラグランジュの恒等式: $n$を自然数とする. また, $a_1, a_2, \ldots, a_n, b_1, b_2, \ldots, b_n$を実数とする.

このとき

\[\left(\sum_{i=1}^n a_i^2\right)\left(\sum_{i=1}^n b_i^2\right) = \left(\sum_{i=1}^na_ib_i\right)^2 + \sum_{1 \le i < j \le n} (a_ib_j-a_jb_i)^2\]

が成り立つ.

注意: この主張は 二つの平方数の和の積を平方数の和として表す方法の一つを表しています.

関連する話題としては 全ての自然数は高々四個の平方数の和として表されることが示されています(四平方定理, wikipedia).

:

$n=2$のとき:

\[(a_1^2+a_2^2)(b_1^2+b_2^2) = (a_1b_1 + a_2b_2)^2 + (a_1b_2 - a_2b_1)^2.\]

これを ブラーマグプタの公式という.

$n=3$のとき:

\[\begin{align*} (a_1^2 + a_2^2 + a_3^2)(b_1^2 + b_2^2 + b_3^2) &= (a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3)^2 + \\ &\quad (a_1b_2 - a_2b_1)^2 + (a_2b_3 - a_3b_2)^2 + (a_1b_3 - a_3b_1)^2. \end{align*}\]

証明: 直接計算すると

\[\left(\sum_{i=1}^n a_i^2\right)\left(\sum_{i=1}^n b_i^2\right) = \sum_{i=1}^n a_i^2 b_i^2 + 2\sum_{1 \le i < j \le n} a_i^2b_j^2.\]

また

\[\begin{align*} \left(\sum_{i=1}^na_ib_i\right)^2 + \sum_{1 \le i < j \le n} (a_ib_j-a_jb_i)^2 & = \sum_{i=1}^n a_i^2b_i^2 + 2\sum_{1 \le i < j \le n}a_ia_jb_ib_j + \sum_{1 \le i < j \le n} (a_i^2b_j^2 + a_j^2b_i^2 -2a_ia_jb_ib_j) \\ &= \sum_{i=1}^n a_i^2b_i^2 + \sum_{1 \le i < j \le n} (a_i^2b_j^2 + a_j^2b_i^2) \\ &= \sum_{i=1}^n a_i^2b_i^2 + 2\sum_{1 \le i < j \le n} a_i^2b_j^2. \end{align*}\]

以上によって, 命題は示された.