ピタゴラス数とは三つの自然数$a, b, c$であって

\[a^2 + b^2 = c^2\]

が成り立つもののことです.

このような$a, b, c$の値は決定されています(参考: 高校数学の美しい物語).

しかし, 歴史的には$c - b = 1$の場合が先に考えられていました. そこで, その場合の$a, b, c$の値を決定してみましょう.

自然数$m$に対して

\[\begin{align} (m + 1)^2 - m^2 = 2m + 1. \tag{$\ast$} \end{align}\]

ここで $2m+1$が平方数となるように$m$の値を定めましょう. そこで $2m+1$は奇数全体を動くので

\[2m+1 = (2n+1)^2\]

と置きます. これより

\[m = 2n^2+2n = 2n(n+1)\]

を得ます. これを$(\ast)$に代入して

\[(2n + 1)^2 + (2n^2 + 2n)^2 = (2n^2 + 2n + 1)^2\]

を得ます.